微积分学示例

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 8$ 。

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 移到 $x^{2} + 8$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.9.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.7

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.8

化简。

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解题步骤 4.2.1.8.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.8.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.9

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.10

化简。

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解题步骤 4.2.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.10.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.10.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.10.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.10.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.10.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

合并 $2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2 x^{2} + 16 x + 16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

从 $16 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 2 x^{2} + 14 x + 16$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

从 $14 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.4

从 $2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.5

从 $2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.2

把 $7$ 重写为 $- 1$ 加 $8$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.3

运用分配律。

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

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