微积分学示例

${(x^{3} + 3 y)}^{5} = 4 y^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{5}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{3} + 3 y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 3 y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{3} + 3 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 。

$5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 2.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 x^{2} + 3 y')$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$12 y^{2} y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 x^{2} + 3 y') = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 x^{2} + 3 y')$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$0 + 0 + 5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 x^{2} + 3 y') = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 5.1.2.1

运用分配律。

$5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 x^{2}) + 5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 y') = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5.1.2.2

重新排序。

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解题步骤 5.1.2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 \cdot 3 {(x^{3} + 3 y)}^{4} x^{2} + 5 {(x^{3} + 3 y)}^{4} (3 y') = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5.1.2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$5 \cdot 3 {(x^{3} + 3 y)}^{4} x^{2} + 5 \cdot 3 {(x^{3} + 3 y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5.1.3

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 {(x^{3} + 3 y)}^{4} x^{2} + 5 \cdot 3 {(x^{3} + 3 y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5.1.3.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 {(x^{3} + 3 y)}^{4} x^{2} + 15 {(x^{3} + 3 y)}^{4} y' = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5.1.4

将 $15 {(x^{3} + 3 y)}^{4} x^{2} + 15 {(x^{3} + 3 y)}^{4} y'$ 中的因式重新排序。

$15 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} = 12 y^{2} y'$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $12 y^{2} y'$ 。

$15 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

使用二项式定理。

$15 x^{2} ({(x^{3})}^{4} + 4 {(x^{3})}^{3} (3 y) + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1

将 ${(x^{3})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 x^{2} (x^{3 \cdot 4} + 4 {(x^{3})}^{3} (3 y) + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 4 {(x^{3})}^{3} (3 y) + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{2} (x^{12} + 4 \cdot 3 {(x^{3})}^{3} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 {(x^{3})}^{3} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.4

将 ${(x^{3})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{3 \cdot 3} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.5

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 x^{3 \cdot 2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 x^{6} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.6

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 x^{6} (3^{2} y^{2}) + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 \cdot 3^{2} x^{6} y^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 \cdot 9 x^{6} y^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.9

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.10

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 x^{3} (3^{3} y^{3}) + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.11

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 \cdot 3^{3} x^{3} y^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.12

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 \cdot 27 x^{3} y^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.13

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + {(3 y)}^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.14

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 3^{4} y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.15

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$15 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.3

运用分配律。

$15 x^{2} x^{12} + 15 x^{2} (12 x^{9} y) + 15 x^{2} (54 x^{6} y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4

化简。

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解题步骤 5.2.2.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{12}$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.1.1

移动 $x^{12}$ 。

$15 (x^{12} x^{2}) + 15 x^{2} (12 x^{9} y) + 15 x^{2} (54 x^{6} y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{12 + 2} + 15 x^{2} (12 x^{9} y) + 15 x^{2} (54 x^{6} y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.1.3

将 $12$ 和 $2$ 相加。

$15 x^{14} + 15 x^{2} (12 x^{9} y) + 15 x^{2} (54 x^{6} y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{9}$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.2.1

移动 $x^{9}$ 。

$15 x^{14} + 15 (x^{9} x^{2}) (12 y) + 15 x^{2} (54 x^{6} y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{14} + 15 x^{9 + 2} (12 y) + 15 x^{2} (54 x^{6} y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.2.3

将 $9$ 和 $2$ 相加。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 x^{2} (54 x^{6} y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.3.1

移动 $x^{6}$ 。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 (x^{6} x^{2}) (54 y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 x^{6 + 2} (54 y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.3.3

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 x^{8} (54 y^{2}) + 15 x^{2} (108 x^{3} y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 x^{8} (54 y^{2}) + 15 (x^{3} x^{2}) (108 y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 x^{8} (54 y^{2}) + 15 x^{3 + 2} (108 y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.4.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 x^{8} (54 y^{2}) + 15 x^{5} (108 y^{3}) + 15 x^{2} (81 y^{4}) + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.5

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 15 x^{11} (12 y) + 15 x^{8} (54 y^{2}) + 15 x^{5} (108 y^{3}) + 15 \cdot 81 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 15 \cdot 12 x^{11} y + 15 x^{8} (54 y^{2}) + 15 x^{5} (108 y^{3}) + 15 \cdot 81 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.2

将 $15$ 乘以 $12$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 15 x^{8} (54 y^{2}) + 15 x^{5} (108 y^{3}) + 15 \cdot 81 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 15 \cdot 54 x^{8} y^{2} + 15 x^{5} (108 y^{3}) + 15 \cdot 81 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.4

将 $15$ 乘以 $54$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 15 x^{5} (108 y^{3}) + 15 \cdot 81 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 15 \cdot 108 x^{5} y^{3} + 15 \cdot 81 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.6

将 $15$ 乘以 $108$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 15 \cdot 81 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.7

将 $15$ 乘以 $81$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' {(x^{3} + 3 y)}^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.6

使用二项式定理。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' ({(x^{3})}^{4} + 4 {(x^{3})}^{3} (3 y) + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.7.1

将 ${(x^{3})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.7.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{3 \cdot 4} + 4 {(x^{3})}^{3} (3 y) + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 4 {(x^{3})}^{3} (3 y) + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 4 \cdot 3 {(x^{3})}^{3} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 {(x^{3})}^{3} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.4

将 ${(x^{3})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.7.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{3 \cdot 3} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 {(x^{3})}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.5

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.7.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 x^{3 \cdot 2} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 x^{6} {(3 y)}^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.6

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 x^{6} (3^{2} y^{2}) + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.7

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 \cdot 3^{2} x^{6} y^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 6 \cdot 9 x^{6} y^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.9

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 x^{3} {(3 y)}^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.10

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 x^{3} (3^{3} y^{3}) + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.11

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 \cdot 3^{3} x^{3} y^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.12

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 4 \cdot 27 x^{3} y^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.13

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + {(3 y)}^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.14

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 3^{4} y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.15

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.8

运用分配律。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 15 y' (12 x^{9} y) + 15 y' (54 x^{6} y^{2}) + 15 y' (108 x^{3} y^{3}) + 15 y' (81 y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.9

化简。

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解题步骤 5.2.2.9.1

将 $12$ 乘以 $15$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' (x^{9} y) + 15 y' (54 x^{6} y^{2}) + 15 y' (108 x^{3} y^{3}) + 15 y' (81 y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.9.2

将 $54$ 乘以 $15$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' (x^{9} y) + 810 y' (x^{6} y^{2}) + 15 y' (108 x^{3} y^{3}) + 15 y' (81 y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.9.3

将 $108$ 乘以 $15$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' (x^{9} y) + 810 y' (x^{6} y^{2}) + 1620 y' (x^{3} y^{3}) + 15 y' (81 y^{4}) - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.9.4

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' (x^{9} y) + 810 y' (x^{6} y^{2}) + 1620 y' (x^{3} y^{3}) + 15 \cdot 81 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2.2.10

将 $15$ 乘以 $81$ 。

$15 x^{14} + 180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $15 x^{14}$ 。

$180 x^{11} y + 810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $180 x^{11} y$ 。

$810 x^{8} y^{2} + 1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y$

解题步骤 5.3.3

从等式两边同时减去 $810 x^{8} y^{2}$ 。

$1620 x^{5} y^{3} + 1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2}$

解题步骤 5.3.4

从等式两边同时减去 $1620 x^{5} y^{3}$ 。

$1215 x^{2} y^{4} + 15 y' x^{12} + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3}$

解题步骤 5.3.5

从等式两边同时减去 $1215 x^{2} y^{4}$ 。

$15 y' x^{12} + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4

从 $15 y' x^{12} + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $15 y' x^{12}$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12}) + 180 y' x^{9} y + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.2

从 $180 y' x^{9} y$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12}) + 3 y' (60 x^{9} y) + 810 y' x^{6} y^{2} + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.3

从 $810 y' x^{6} y^{2}$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12}) + 3 y' (60 x^{9} y) + 3 y' (270 x^{6} y^{2}) + 1620 y' x^{3} y^{3} + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.4

从 $1620 y' x^{3} y^{3}$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12}) + 3 y' (60 x^{9} y) + 3 y' (270 x^{6} y^{2}) + 3 y' (540 x^{3} y^{3}) + 1215 y' y^{4} - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.5

从 $1215 y' y^{4}$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12}) + 3 y' (60 x^{9} y) + 3 y' (270 x^{6} y^{2}) + 3 y' (540 x^{3} y^{3}) + 3 y' (405 y^{4}) - 12 y^{2} y' = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.6

从 $- 12 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12}) + 3 y' (60 x^{9} y) + 3 y' (270 x^{6} y^{2}) + 3 y' (540 x^{3} y^{3}) + 3 y' (405 y^{4}) + 3 y' (- 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.7

从 $3 y' (5 x^{12}) + 3 y' (60 x^{9} y)$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y) + 3 y' (270 x^{6} y^{2}) + 3 y' (540 x^{3} y^{3}) + 3 y' (405 y^{4}) + 3 y' (- 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.8

从 $3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y) + 3 y' (270 x^{6} y^{2})$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2}) + 3 y' (540 x^{3} y^{3}) + 3 y' (405 y^{4}) + 3 y' (- 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.9

从 $3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2}) + 3 y' (540 x^{3} y^{3})$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3}) + 3 y' (405 y^{4}) + 3 y' (- 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.10

从 $3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3}) + 3 y' (405 y^{4})$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4}) + 3 y' (- 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.4.11

从 $3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4}) + 3 y' (- 4 y^{2})$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$

解题步骤 5.5

将 $3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$ 中的每一项除以 $3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}) = - 15 x^{14} - 180 x^{11} y - 810 x^{8} y^{2} - 1620 x^{5} y^{3} - 1215 x^{2} y^{4}$ 中的每一项都除以 $3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})$ 。

$\frac{3 y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} = \frac{- 15 x^{14}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 180 x^{11} y}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} = \frac{- 15 x^{14}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 180 x^{11} y}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 15 x^{14}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 180 x^{11} y}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1

约去 $- 15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1.1

从 $- 15 x^{14}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- 5 x^{14})}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 180 x^{11} y}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 180 x^{11} y}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(5) x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 180 x^{11} y}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.3

约去 $- 180$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.3.1

从 $- 180 x^{11} y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{3 (- 60 x^{11} y)}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.3.1.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{(60) x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 810 x^{8} y^{2}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.5

约去 $- 810$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.5.1

从 $- 810 x^{8} y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{3 (- 270 x^{8} y^{2})}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.5.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.3.1.1.5.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.6

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{(270) x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 1620 x^{5} y^{3}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.7

约去 $- 1620$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.7.1

从 $- 1620 x^{5} y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{3 (- 540 x^{5} y^{3})}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.7.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{3 (- 540 x^{5} y^{3})}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.7.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.8

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{(540) x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 1215 x^{2} y^{4}}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.9

约去 $- 1215$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.9.1

从 $- 1215 x^{2} y^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{3 (- 405 x^{2} y^{4})}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.9.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{3 (- 405 x^{2} y^{4})}{3 (5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.9.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} + \frac{- 405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.1.10

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{5 x^{14}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2

化简项。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 5 x^{14} - 60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

从 $- 5 x^{14} - 60 x^{11} y$ 中分解出因数 $5 x^{11}$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.2.1

从 $- 5 x^{14}$ 中分解出因数 $5 x^{11}$ 。

$y' = \frac{5 x^{11} (- x^{3}) - 60 x^{11} y}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2.2

从 $- 60 x^{11} y$ 中分解出因数 $5 x^{11}$ 。

$y' = \frac{5 x^{11} (- x^{3}) + 5 x^{11} (- 12 y)}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2.3

从 $5 x^{11} (- x^{3}) + 5 x^{11} (- 12 y)$ 中分解出因数 $5 x^{11}$ 。

$y' = \frac{5 x^{11} (- x^{3} - 12 y)}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{5 x^{11} (- x^{3} - 12 y) - 270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.2.1

从 $5 x^{11} (- x^{3} - 12 y) - 270 x^{8} y^{2}$ 中分解出因数 $5 x^{8}$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1.1

从 $5 x^{11} (- x^{3} - 12 y)$ 中分解出因数 $5 x^{8}$ 。

$y' = \frac{5 x^{8} (x^{3} (- x^{3} - 12 y)) - 270 x^{8} y^{2}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.1.2

从 $- 270 x^{8} y^{2}$ 中分解出因数 $5 x^{8}$ 。

$y' = \frac{5 x^{8} (x^{3} (- x^{3} - 12 y)) + 5 x^{8} (- 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.1.3

从 $5 x^{8} (x^{3} (- x^{3} - 12 y)) + 5 x^{8} (- 54 y^{2})$ 中分解出因数 $5 x^{8}$ 。

$y' = \frac{5 x^{8} (x^{3} (- x^{3} - 12 y) - 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.2

运用分配律。

$y' = \frac{5 x^{8} (x^{3} (- x^{3}) + x^{3} (- 12 y) - 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{8} (- x^{3} x^{3} + x^{3} (- 12 y) - 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{8} (- x^{3} x^{3} - 12 x^{3} y - 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$y' = \frac{5 x^{8} (- (x^{3} x^{3}) - 12 x^{3} y - 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{5 x^{8} (- x^{3 + 3} - 12 x^{3} y - 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.5.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{5 x^{8} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{5 x^{8} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2}) - 540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.4.1

从 $5 x^{8} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2}) - 540 x^{5} y^{3}$ 中分解出因数 $5 x^{5}$ 。

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解题步骤 5.5.3.4.1.1

从 $5 x^{8} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2})$ 中分解出因数 $5 x^{5}$ 。

$y' = \frac{5 x^{5} (x^{3} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2})) - 540 x^{5} y^{3}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.1.2

从 $- 540 x^{5} y^{3}$ 中分解出因数 $5 x^{5}$ 。

$y' = \frac{5 x^{5} (x^{3} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2})) + 5 x^{5} (- 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.1.3

从 $5 x^{5} (x^{3} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2})) + 5 x^{5} (- 108 y^{3})$ 中分解出因数 $5 x^{5}$ 。

$y' = \frac{5 x^{5} (x^{3} (- x^{6} - 12 x^{3} y - 54 y^{2}) - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.2

运用分配律。

$y' = \frac{5 x^{5} (x^{3} (- x^{6}) + x^{3} (- 12 x^{3} y) + x^{3} (- 54 y^{2}) - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.3

化简。

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解题步骤 5.5.3.4.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{3} x^{6} + x^{3} (- 12 x^{3} y) + x^{3} (- 54 y^{2}) - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{3} x^{6} - 12 x^{3} (x^{3} y) + x^{3} (- 54 y^{2}) - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{3} x^{6} - 12 x^{3} (x^{3} y) - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.4

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.4.4.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 5.5.3.4.4.1.1

移动 $x^{6}$ 。

$y' = \frac{5 x^{5} (- (x^{6} x^{3}) - 12 x^{3} (x^{3} y) - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{6 + 3} - 12 x^{3} (x^{3} y) - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.4.1.3

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{9} - 12 x^{3} (x^{3} y) - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.4.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.5.3.4.4.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{9} - 12 (x^{3} x^{3}) y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{9} - 12 x^{3 + 3} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.4.4.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}} - \frac{405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.5

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{5 x^{5} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3}) - 405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.6.1

从 $5 x^{5} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3}) - 405 x^{2} y^{4}$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.1.1

从 $5 x^{5} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (x^{3} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})) - 405 x^{2} y^{4}}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.1.2

从 $- 405 x^{2} y^{4}$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (x^{3} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})) + 5 x^{2} (- 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.1.3

从 $5 x^{2} (x^{3} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3})) + 5 x^{2} (- 81 y^{4})$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (x^{3} (- x^{9} - 12 x^{6} y - 54 x^{3} y^{2} - 108 y^{3}) - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.2

运用分配律。

$y' = \frac{5 x^{2} (x^{3} (- x^{9}) + x^{3} (- 12 x^{6} y) + x^{3} (- 54 x^{3} y^{2}) + x^{3} (- 108 y^{3}) - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.3

化简。

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解题步骤 5.5.3.6.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{3} x^{9} + x^{3} (- 12 x^{6} y) + x^{3} (- 54 x^{3} y^{2}) + x^{3} (- 108 y^{3}) - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{3} x^{9} - 12 x^{3} (x^{6} y) + x^{3} (- 54 x^{3} y^{2}) + x^{3} (- 108 y^{3}) - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{3} x^{9} - 12 x^{3} (x^{6} y) - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) + x^{3} (- 108 y^{3}) - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{3} x^{9} - 12 x^{3} (x^{6} y) - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.6.4.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{9}$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.4.1.1

移动 $x^{9}$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{9} x^{3}) - 12 x^{3} (x^{6} y) - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{9 + 3} - 12 x^{3} (x^{6} y) - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.1.3

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{12} - 12 x^{3} (x^{6} y) - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.4.2.1

移动 $x^{6}$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{12} - 12 (x^{6} x^{3}) y - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{12} - 12 x^{6 + 3} y - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.2.3

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{12} - 12 x^{9} y - 54 x^{3} (x^{3} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.4.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{12} - 12 x^{9} y - 54 (x^{3} x^{3}) y^{2} - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{12} - 12 x^{9} y - 54 x^{3 + 3} y^{2} - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.6.4.3.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{5 x^{2} (- x^{12} - 12 x^{9} y - 54 x^{6} y^{2} - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.5.3.7.1

从 $- x^{12}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12}) - 12 x^{9} y - 54 x^{6} y^{2} - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.2

从 $- 12 x^{9} y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12}) - (12 x^{9} y) - 54 x^{6} y^{2} - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.3

从 $- (x^{12}) - (12 x^{9} y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12} + 12 x^{9} y) - 54 x^{6} y^{2} - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.4

从 $- 54 x^{6} y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12} + 12 x^{9} y) - (54 x^{6} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.5

从 $- (x^{12} + 12 x^{9} y) - (54 x^{6} y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2}) - 108 x^{3} y^{3} - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.6

从 $- 108 x^{3} y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2}) - (108 x^{3} y^{3}) - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.7

从 $- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2}) - (108 x^{3} y^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3}) - 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.8

从 $- 81 y^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3}) - (81 y^{4}))}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.9

从 $- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3}) - (81 y^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4}))}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.10

化简表达式。

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解题步骤 5.5.3.7.10.1

将 $- (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4})$ 重写为 $- 1 (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4})$ 。

$y' = \frac{5 x^{2} (- 1 (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4}))}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.10.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(5 x^{2}) (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 5.5.3.7.10.3

将 $- \frac{(5 x^{2}) (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$ 中的因式重新排序。

$y' = - \frac{5 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{2} (x^{12} + 12 x^{9} y + 54 x^{6} y^{2} + 108 x^{3} y^{3} + 81 y^{4})}{5 x^{12} + 60 x^{9} y + 270 x^{6} y^{2} + 540 x^{3} y^{3} + 405 y^{4} - 4 y^{2}}$

微积分学 示例

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