微积分学示例

$\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

解题步骤 1

将 $\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $\sqrt[3]{u}$ 的左侧。

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 8.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 8.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 8.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 8.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 8.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ 重写为 $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 11

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$

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