微积分学示例

$2 e^{x} - x + 5 \sin (x) - 12$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 e^{x} - x + 5 \sin (x) - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{x} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{x} - 1 + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 e^{x} - 1 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 e^{x} - 1 + 5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 5

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 e^{x} - 1 + 5 \cos (x) + 0$

解题步骤 5.2

将 $2 e^{x} - 1 + 5 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$2 e^{x} - 1 + 5 \cos (x)$

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