微积分学示例

$\int (\sqrt{x^{4}} - \sqrt[5]{x^{8}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \sqrt{x^{4}} - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt{x^{4}} d x + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{4}}$ 重写成 $x^{\frac{4}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{4}{2}} d x + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

解题步骤 3.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\int x^{2} d x + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - \sqrt[5]{x^{8}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int \sqrt[5]{x^{8}} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x^{8}}$ 重写成 $x^{\frac{8}{5}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x^{\frac{8}{5}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{8}{5}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{5}{13} x^{\frac{13}{5}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{5}{13} x^{\frac{13}{5}} + C)$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{13} x^{\frac{13}{5}} + C$

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