微积分学示例

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - x - 11$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} - x - 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.8

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.1.2

将 $- 1$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.1.3

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.1.4

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 4.4.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.1.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 11$ 。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.2

将 $2 e^{x} x$ 和 $x e^{x}$ 相加。

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解题步骤 4.4.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $2 x e^{x}$ 和 $x e^{x}$ 相加。

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.3

将 $- e^{x}$ 和 $11 e^{x}$ 相加。

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

从 $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $3 e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.1.2

从 $- e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $10 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.1.4

从 $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.1.5

从 $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.2

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.3

分组因式分解。

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解题步骤 4.6.3.1

重新排序项。

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.3.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 4.6.3.2.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.3.2.2

把 $3$ 重写为 $- 2$ 加 $5$

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.3.2.3

运用分配律。

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.3.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.6.3.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.3.4

通过因式分解出最大公因数 $- u - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.4

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.7

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

从 $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.7.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

解题步骤 4.7.2.4

用 $(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ 除以 $1$ 。

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

解题步骤 4.8

运用分配律。

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

解题步骤 4.9

使用乘法的交换性质重写。

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

解题步骤 4.10

将 $- 2$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

解题步骤 4.11

使用 FOIL 方法展开 $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ 。

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解题步骤 4.11.1

运用分配律。

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

解题步骤 4.11.2

运用分配律。

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

解题步骤 4.11.3

运用分配律。

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

解题步骤 4.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.12.1

化简每一项。

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解题步骤 4.12.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.12.1.1.1

移动 $x$ 。

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

解题步骤 4.12.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

解题步骤 4.12.1.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

解题步骤 4.12.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

解题步骤 4.12.2

从 $5 e^{- x} x$ 中减去 $2 e^{- x} x$ 。

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

解题步骤 4.13

将 $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$

微积分学 示例

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