微积分学示例

$\ln (2 x + 1)$

解题步骤 1

将 $\ln (2 x + 1)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \ln (2 x + 1)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \ln (2 x + 1) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (2 x + 1)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2 x + 1}$ 。

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

解题步骤 5.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

解题步骤 8

用 $x$ 除以 $2 x + 1$ 。

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解题步骤 8.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 8.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 8.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

解题步骤 8.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + \frac{1}{2}$ 中的所有符号

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

解题步骤 8.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

解题步骤 8.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

解题步骤 14

使 $u = 2 x + 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 14.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 14.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 14.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 14.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 14.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 14.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 14.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 14.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 14.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

解题步骤 15.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

解题步骤 16

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 17.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 18

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 19

化简。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

解题步骤 20

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

化简每一项。

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解题步骤 21.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 21.1.2

组合 $\ln (| 2 x + 1 |)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

解题步骤 21.2

要将 $\frac{x}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

解题步骤 21.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 21.3.1

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

解题步骤 21.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

解题步骤 21.4

在公分母上合并分子。

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

解题步骤 21.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

解题步骤 21.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 21.5.3

约去公因数。

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 21.5.4

重写表达式。

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 21.6

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 22

重新排序项。

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 23

答案是函数 $f (x) = \ln (2 x + 1)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

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