微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $3 \cos (3 θ)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

解题步骤 1.2

对 $3 (\cos (3 θ))$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

解题步骤 1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

解题步骤 2

由于 $9$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 3 θ$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d θ$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = 3 θ$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d θ}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 θ$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

解题步骤 3.1.2

因为 $3$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $3 θ$ 对 $θ$ 的导数是 $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{1} = 3 θ$ 中的 $θ$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{1} = 3 θ$ 中的 $θ$ 。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

解题步骤 3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 4

组合 $\cos^{2} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.2

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 12

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 12.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 12.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 12.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 12.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 12.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 12.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 12.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 12.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

解题步骤 12.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 13

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 15

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

解题步骤 16

代入并化简。

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解题步骤 16.1

计算 $u_{1}$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

解题步骤 16.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

解题步骤 16.3

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

解题步骤 17.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

解题步骤 17.3

将 $\sin (π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

解题步骤 17.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (π)$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

解题步骤 18.2

化简每一项。

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解题步骤 18.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

解题步骤 18.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

解题步骤 18.3

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 18.4

乘以 $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 18.4.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 18.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 19

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 π}{4}$

小数形式：

$2.35619449 \dots$

微积分学 示例

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