微积分学示例

$\frac{1}{X^{3} + X}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{X^{3} + X}$ 书写为一个函数。

$f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (X)$ 的不定积分求函数 $F (X)$ 。

$F (X) = \int f (X) d X$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (X) = \int \frac{1}{X^{3} + X} d X$

解题步骤 4

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.1.1

从 $X^{3} + X$ 中分解出因数 $X$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $X^{3}$ 中分解出因数 $X$ 。

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X}$

解题步骤 4.1.1.2

对 $X$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X^{1}}$

解题步骤 4.1.1.3

从 $X^{1}$ 中分解出因数 $X$ 。

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X \cdot 1}$

解题步骤 4.1.1.4

从 $X \cdot X^{2} + X \cdot 1$ 中分解出因数 $X$ 。

$\frac{1}{X (X^{2} + 1)}$

解题步骤 4.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $X (X^{2} + 1)$ 。

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.4

约去 $X$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.5

约去 $X^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.6

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.1

约去 $X$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.6.1.2

用 $A (X^{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A (X^{2} + 1) + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.6.2

运用分配律。

$1 = A X^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.6.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.6.4

约去 $X^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.4.1

约去公因数。

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.6.4.2

用 $(B X + C) (X)$ 除以 $1$ 。

$1 = A X^{2} + A + (B X + C) (X)$

解题步骤 4.1.6.5

运用分配律。

$1 = A X^{2} + A + B X \cdot X + C X$

解题步骤 4.1.6.6

通过指数相加将 $X$ 乘以 $X$ 。

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解题步骤 4.1.6.6.1

移动 $X$ 。

$1 = A X^{2} + A + B (X \cdot X) + C X$

解题步骤 4.1.6.6.2

将 $X$ 乘以 $X$ 。

$1 = A X^{2} + A + B X^{2} + C X$

解题步骤 4.1.7

移动 $A$ 。

$1 = A X^{2} + B X^{2} + C X + A$

解题步骤 4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.2.1

使方程两边 $X^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 4.2.2

使方程两边 $X$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 4.2.3

使方程两边不含 $X$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 4.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

解题步骤 4.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

解题步骤 4.3.2

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

使用 $1$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.2.1

去掉圆括号。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.3.4

在 $0 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

将方程重写为 $1 + B = 0$ 。

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.3.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 4.3.5

求解方程组。

$B = - 1 A = 1 C = 0$

解题步骤 4.3.6

列出所有解。

$B = - 1, A = 1, C = 0$

解题步骤 4.4

将 $\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{1}{X} + \frac{- 1 X + 0}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

去掉圆括号。

$\frac{1}{X} + \frac{(- 1) \cdot X + 0}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.5.2

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $- 1 X$ 重写为 $- X$ 。

$\frac{1}{X} + \frac{- X + 0}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $- X$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{X} + \frac{- X}{X^{2} + 1}$

解题步骤 4.5.3

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{X} - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{X} d X + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

解题步骤 6

$\frac{1}{X}$ 对 $X$ 的积分为 $\ln (| X |)$ 。

$\ln (| X |) + C + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $X$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| X |) + C - \int \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

解题步骤 8

使 $u = X^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 X d X$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = X d X$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = X^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d X}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $X^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d X} [X^{2} + 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $X^{2} + 1$ 对 $X$ 的导数是 $\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$ 。

$\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ 等于 $n X^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 X + \frac{d}{d X} [1]$

解题步骤 8.1.4

因为 $1$ 对于 $X$ 是常数，所以 $1$ 对 $X$ 的导数为 $0$ 。

$2 X + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $2 X$ 和 $0$ 相加。

$2 X$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| X |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| X |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 12

化简。

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 13

使用 $X^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$ 的不定积分。

$F (X) =$ $\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$

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