微积分学示例

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- \frac{3}{20}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{20} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{3}{20}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6

组合 $\frac{- 15}{20}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7

约去 $- 15$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.7.1

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.7.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $- \frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 x^{4}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6

组合 $\frac{- 12}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7

约去 $- 12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.7.1

从 $- 12 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.4

用 $- 3 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{3} + 24 (2 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 48 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 3 x^{3} + 48 x$ 。

$- 3 x^{3} + 48 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{3} + 48 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{3} + 48 x = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 3 x^{3} + 48 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} + 48 x = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $48 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 16)$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x (x^{2} - 16) = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- 3 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

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解题步骤 2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$- 3 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.6

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.7

最终解为使 $- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 4, 4$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 8 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

乘以 $- \frac{3}{20} \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 8 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3}{20}$ 。

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 代入 $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot {(- 4)}^{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $- \frac{3}{20}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- 4) = \frac{- 3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

从 $- 1024$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

约去公因数。

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.5

重写表达式。

$f (- 4) = \frac{- 3}{5} \cdot - 256 + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

组合 $\frac{- 3}{5}$ 和 $- 256$ 。

$f (- 4) = \frac{- 3 \cdot - 256}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 256$ 。

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 \cdot - 64$

解题步骤 3.3.2.1.6

将 $8$ 乘以 $- 64$ 。

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $- 512$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $- 512$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- 4) = \frac{768}{5} + \frac{- 512 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- 4) = \frac{768 - 512 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将 $- 512$ 乘以 $5$ 。

$f (- 4) = \frac{768 - 2560}{5}$

解题步骤 3.3.2.5.2

从 $768$ 中减去 $2560$ 。

$f (- 4) = \frac{- 1792}{5}$

解题步骤 3.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- 4) = - \frac{1792}{5}$

解题步骤 3.3.2.7

最终答案为 $- \frac{1792}{5}$ 。

$- \frac{1792}{5}$

解题步骤 3.4

通过将 $- 4$ 代入 $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ 中求得的点为 $(- 4, - \frac{1792}{5})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 4, - \frac{1792}{5})$

解题步骤 3.5

将 $4$ 代入 $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot {(4)}^{5} + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

将 $- \frac{3}{20}$ 中前置负号移到分子中。

$f (4) = \frac{- 3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

从 $1024$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2.4

约去公因数。

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2.5

重写表达式。

$f (4) = \frac{- 3}{5} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.3

组合 $\frac{- 3}{5}$ 和 $256$ 。

$f (4) = \frac{- 3 \cdot 256}{5} + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $256$ 。

$f (4) = \frac{- 768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.6

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 \cdot 64$

解题步骤 3.5.2.1.7

将 $8$ 乘以 $64$ 。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512$

解题步骤 3.5.2.2

要将 $512$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.5.2.3

组合 $512$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f (4) = - \frac{768}{5} + \frac{512 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.5.2.4

在公分母上合并分子。

$f (4) = \frac{- 768 + 512 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.5.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.5.1

将 $512$ 乘以 $5$ 。

$f (4) = \frac{- 768 + 2560}{5}$

解题步骤 3.5.2.5.2

将 $- 768$ 和 $2560$ 相加。

$f (4) = \frac{1792}{5}$

解题步骤 3.5.2.6

最终答案为 $\frac{1792}{5}$ 。

$\frac{1792}{5}$

解题步骤 3.6

通过将 $4$ 代入 $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ 中求得的点为 $(4, \frac{1792}{5})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(4, \frac{1792}{5})$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (- 4, - \frac{1792}{5}), (4, \frac{1792}{5})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 4)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4.1) = - 3 {(- 4.1)}^{3} + 48 (- 4.1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4.1) = - 3 \cdot - 68.921 + 48 (- 4.1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 68.921$ 。

$f'' (- 4.1) = 206.763 + 48 (- 4.1)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $48$ 乘以 $- 4.1$ 。

$f'' (- 4.1) = 206.763 - 196.8$

解题步骤 5.2.2

从 $206.763$ 中减去 $196.8$ 。

$f'' (- 4.1) = 9.963$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $9.963$ 。

$9.963$

解题步骤 5.3

在 $- 4.1$ 处，二阶导数为 $9.963$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 4)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 4)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 4, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{3} + 48 (- 2)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = - 3 \cdot - 8 + 48 (- 2)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (- 2) = 24 + 48 (- 2)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $48$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 2) = 24 - 96$

解题步骤 6.2.2

从 $24$ 中减去 $96$ 。

$f'' (- 2) = - 72$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 72$ 。

$- 72$

解题步骤 6.3

在 $- 2$ ，二阶导数为 $- 72$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 4, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 4, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 4)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = - 3 {(2)}^{3} + 48 (2)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2) = - 3 \cdot 8 + 48 (2)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$f'' (2) = - 24 + 48 (2)$

解题步骤 7.2.1.3

将 $48$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = - 24 + 96$

解题步骤 7.2.2

将 $- 24$ 和 $96$ 相加。

$f'' (2) = 72$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $72$ 。

$72$

解题步骤 7.3

在 $2$ 处，二阶导数为 $72$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, 4)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, 4)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(4, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $4.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4.1) = - 3 {(4.1)}^{3} + 48 (4.1)$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $4.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4.1) = - 3 \cdot 68.921 + 48 (4.1)$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $68.921$ 。

$f'' (4.1) = - 206.763 + 48 (4.1)$

解题步骤 8.2.1.3

将 $48$ 乘以 $4.1$ 。

$f'' (4.1) = - 206.763 + 196.8$

解题步骤 8.2.2

将 $- 206.763$ 和 $196.8$ 相加。

$f'' (4.1) = - 9.963$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 9.963$ 。

$- 9.963$

解题步骤 8.3

在 $4.1$ ，二阶导数为 $- 9.963$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(4, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(4, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$ 。

$(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例