微积分学示例

$f (x) = 5 x - 2 x^{3} - 2$ is concave down at $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 5 (1) - 2 \cdot 1^{3} - 2$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

解题步骤 1.2.3

化简 $5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$y = 5 - 2 {(1)}^{3} - 2$

解题步骤 1.2.3.1.2

一的任意次幂都为一。

$y = 5 - 2 \cdot 1 - 2$

解题步骤 1.2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$y = 5 - 2 - 2$

解题步骤 1.2.3.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$y = 3 - 2$

解题步骤 1.2.3.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$y = 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x - 2 x^{3} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$5 - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 - 6 x^{2} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $5 - 6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$5 - 6 x^{2}$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$- 6 x^{2} + 5$

解题步骤 2.6

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- 6 {(1)}^{2} + 5$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

一的任意次幂都为一。

$- 6 \cdot 1 + 5$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 + 5$

解题步骤 2.7.2

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$- 1$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 1$ 和给定点 $(1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 1 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.4.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - x + 1$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - x + 1 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = - x + 2$

解题步骤 4

微积分学 示例

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