微积分学示例

$\int 6 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$6 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$6 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$6 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{6}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例