微积分学示例

$\frac{6 t^{2} - 6}{2 t - 4}$

解题步骤 1

约去 $6 t^{2} - 6$ 和 $2 t - 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $6 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) - 6}{2 t - 4}]$

解题步骤 1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) + 2 \cdot - 3}{2 t - 4}]$

解题步骤 1.3

从 $2 (3 t^{2}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t - 4}]$

解题步骤 1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t) - 4}]$

解题步骤 1.4.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t + 2 \cdot - 2}]$

解题步骤 1.4.3

从 $2 t + 2 \cdot - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

解题步骤 1.4.4

约去公因数。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

解题步骤 1.4.5

重写表达式。

$\frac{d}{d t} [\frac{3 t^{2} - 3}{t - 2}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 3 t^{2} - 3$ 且 $g (t) = t - 2$ 。

$\frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 3] - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 t^{2} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$\frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{(t - 2) (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(t - 2) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(t - 2) (6 t + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t - 2) (6 t + 0) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t - 2) (6 t) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 移到 $t - 2$ 的左侧。

$\frac{6 \cdot (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $t - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + 0)}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \cdot 1}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(6 t + 6 \cdot - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1

移动 $t$ 。

$\frac{6 (t \cdot t) + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.1.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{6 t^{2} + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{6 t^{2} - 12 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

从 $6 t^{2}$ 中减去 $3 t^{2}$ 。

$\frac{3 t^{2} - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 $3 t^{2} - 12 t + 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.5.1

从 $3 t^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (t^{2}) - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

从 $- 12 t$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.4

从 $3 (t^{2}) + 3 (- 4 t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5.5

从 $3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (t^{2} - 4 t + 1)}{{(t - 2)}^{2}}$

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