微积分学示例

$\int - 2 (5 x^{2} + 2 x) e^{3 x} d x$

解题步骤 1

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int (- 2 (5 x^{2}) - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

解题步骤 1.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\int (- 10 x^{2} - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\int (- 10 x^{2} - 4 x) e^{3 x} d x$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 10$ 移到积分外。

$- 10 \int x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$- 10 (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 5

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$- 10 (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 5.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 5.4

组合 $2$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 5.5

组合 $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ 和 $x$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 8.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 8.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 10

使 $u_{1} = 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{1} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 10.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 11

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 13

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 13.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 14

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

解题步骤 15

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 \int x e^{3 x} d x$

解题步骤 16

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 17

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解题步骤 17.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 17.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 17.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

解题步骤 18

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

解题步骤 19

使 $u_{2} = 3 x$ 。然后使 $d u_{2} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 19.1

设 $u_{2} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 19.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 19.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 19.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 19.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 19.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2})$

解题步骤 20

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

解题步骤 21

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

解题步骤 22

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解题步骤 22.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 22.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 23

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C))$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

化简。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 24.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

解题步骤 25

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 25.1

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

解题步骤 25.2

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 26

重新排序项。

$- 10 (\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{9} x e^{3 x} + \frac{2}{27} e^{3 x}) - 4 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

微积分学 示例

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