微积分学示例

$y = \sin (2 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (2 x))$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \sin (y)$ 且 $g (y) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 x]$

解题步骤 3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d y} [2 x]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\cos (2 x) (2 x')$

解题步骤 3.4

重新排序 $\cos (2 x) (2 x')$ 的因式。

$2 \cos (2 x) x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = 2 \cos (2 x) x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $2 \cos (2 x) x' = 1$ 。

$2 \cos (2 x) x' = 1$

解题步骤 5.2

将 $2 \cos (2 x) x' = 1$ 中的每一项除以 $2 \cos (2 x)$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 \cos (2 x) x' = 1$ 中的每一项都除以 $2 \cos (2 x)$ 。

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $\cos (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

分离分数。

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$x' = \frac{1}{2} \sec (2 x)$

解题步骤 5.2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec (2 x)$ 。

$x' = \frac{\sec (2 x)}{2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (2 x)}{2}$

微积分学 示例

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