微积分学示例

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 1 - 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.1.2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.2.7

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

将 ${(1 - 2 x)}^{2}$ 重写为 $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

解题步骤 1.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

解题步骤 1.1.2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

解题步骤 1.1.2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 1.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 2 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

解题步骤 1.1.2.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

解题步骤 1.1.2.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

解题步骤 1.1.2.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

解题步骤 1.1.2.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ 。

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $1 - 4 x + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 1.1.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 1.1.2.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 相加。

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 1.1.2.8

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 1.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 1.1.2.10

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 1.1.2.11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

解题步骤 1.1.2.13

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 6 (- 4 + 8 x)$

解题步骤 1.1.2.14

化简。

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解题步骤 1.1.2.14.1

运用分配律。

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

解题步骤 1.1.2.14.2

合并项。

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解题步骤 1.1.2.14.2.1

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$24 - 6 (8 x)$

解题步骤 1.1.2.14.2.2

将 $8$ 乘以 $- 6$ 。

$24 - 48 x$

解题步骤 1.1.2.14.3

重新排序项。

$f'' (x) = - 48 x + 24$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 48 x + 24$ 。

$- 48 x + 24$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 48 x + 24 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 48 x + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $24$ 。

$- 48 x = - 24$

解题步骤 1.2.3

将 $- 48 x = - 24$ 中的每一项除以 $- 48$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 48 x = - 24$ 中的每一项都除以 $- 48$ 。

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 48$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 24}{- 48}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

约去 $- 24$ 和 $- 48$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $- 24$ 。

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.2.1

从 $- 48$ 中分解出因数 $- 24$ 。

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 48$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 24$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $24$ 相加。

$f'' (0) = 24$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

图像向上凹

解题步骤 5

将区间 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 48$ 乘以 $3$ 。

$f'' (3) = - 144 + 24$

解题步骤 5.2.2

将 $- 144$ 和 $24$ 相加。

$f'' (3) = - 120$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 120$ 。

$- 120$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (3)$ 为负数。

图像向下凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

图像向上凹

图像向下凹

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例