微积分学示例

$(x + x^{2}) e^{- 2 x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- 2 x}$ 。

$(x + x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$(x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x + x^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + x^{2}) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 3.3.2

将 $- 2$ 移到 $(x + x^{2}) e^{- 2 x}$ 的左侧。

$- 2 \cdot ((x + x^{2}) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(- 2 x - 2 x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 1 + e^{- 2 x} (2 x)$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 x)$

解题步骤 4.4.2

将 $- 2 x e^{- 2 x}$ 和 $e^{- 2 x} (2 x)$ 相加。

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解题步骤 4.4.2.1

移动 $e^{- 2 x}$ 。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $- 2 x e^{- 2 x}$ 和 $2 x e^{- 2 x}$ 相加。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 0$

解题步骤 4.4.3

将 $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$

解题步骤 4.6

将 $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$ 中的因式重新排序。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

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