微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(i^{2} + 2)}^{2}$ 重写为 $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ 。

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

通过指数相加将 $i^{2}$ 乘以 $i^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 移到 $i^{2}$ 的左侧。

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

解题步骤 1.3.2

将 $2 i^{2}$ 和 $2 i^{2}$ 相加。

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

解题步骤 3

计算 $\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $i$ 每个取值的序列。

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

解题步骤 3.2

化简展开式。

$2153645$

解题步骤 4

计算 $4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $25$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

解题步骤 4.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

将 $25$ 乘以 $26$ 。

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $50$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

解题步骤 4.3.2

化简项。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $650$ 乘以 $51$ 。

$4 (\frac{33150}{6})$

解题步骤 4.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{33150}{6}$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.2.4

重写表达式。

$2 (\frac{33150}{3})$

解题步骤 4.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{33150}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

解题步骤 4.3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.4.1

将 $2$ 乘以 $33150$ 。

$\frac{66300}{3}$

解题步骤 4.3.2.4.2

用 $66300$ 除以 $3$ 。

$22100$

解题步骤 5

计算 $\sum_{i = 1}^{25} 4$ 。

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解题步骤 5.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 5.2

将值代入公式中。

$(4) (25)$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$100$

解题步骤 6

将求和的总和相加。

$2153645 + 22100 + 100$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $2153645$ 和 $22100$ 相加。

$2175745 + 100$

解题步骤 7.2

将 $2175745$ 和 $100$ 相加。

$2175845$

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