微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 ${(x + 1)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.5

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.4

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 \cdot - 2}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.5

将 $0$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.2

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.10

将 $x^{2} + 2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.11

根据加法法则， $x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.13

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.15

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.16

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.17

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18

化简。

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解题步骤 1.3.18.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.3

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4

合并项。

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解题步骤 1.3.18.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.6

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.8

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.10

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.18.4.11

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.19

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.21

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + 0}$

解题步骤 1.3.22

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

解题步骤 3

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1}$

解题步骤 4.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 0$

解题步骤 4.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

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