微积分学示例

$y = arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arcsec (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.1.2

$arcsec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.4

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.5

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

约去公因数。

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 2.9.2

重写表达式。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arccsc (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d u_{2}} [arccsc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.2

$arccsc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.4

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.5

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3$

解题步骤 3.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - 3 \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.10

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 3.10.2.1

从 $3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

解题步骤 3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

解题步骤 3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

解题步骤 4

从 $\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ 中减去 $\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ 。

$0$

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