微积分学示例

$- 3 x^{3} + x y - 3 = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- 3 x^{3} + x y - 3) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 3 x^{3} + x y - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- 9 x^{2} + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 9 x^{2} + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 x^{2} + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- 9 x^{2} + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 9 x^{2} + x y' + y + 0$

解题步骤 2.5

将 $- 9 x^{2} + x y' + y$ 和 $0$ 相加。

$- 9 x^{2} + x y' + y$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 9 x^{2} + x y' + y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $9 x^{2}$ 。

$x y' + y = 9 x^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' = 9 x^{2} - y$

解题步骤 5.2

将 $x y' = 9 x^{2} - y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $x y' = 9 x^{2} - y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y'}{x} = \frac{9 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{9 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{9 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (9 x)}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{x (9 x)}{x^{1}} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (9 x)}{x \cdot 1} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2.3

约去公因数。

$y' = \frac{x (9 x)}{x \cdot 1} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2.4

重写表达式。

$y' = \frac{9 x}{1} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2.5

用 $9 x$ 除以 $1$ 。

$y' = 9 x + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = 9 x - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 9 x - \frac{y}{x}$

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