微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.3

将极限移入指数中。

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.4

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.7

化简项。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.7.2

化简答案。

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解题步骤 1.2.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.7.2.1.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.7.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.7.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.7.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.2.7.2.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

解题步骤 1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

解题步骤 1.3.1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

解题步骤 1.3.1.4

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{0}{8 - 8}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $3 e^{- 2 - x} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{- 2 - x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 - x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 - x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $- 2 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $- 2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.8

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.9

将 $- 1$ 移到 $e^{- 2 - x}$ 的左侧。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.10

将 $- 1 e^{- 2 - x}$ 重写为 $- e^{- 2 - x}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.3.11

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.5

将 $- 3 e^{- 2 - x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $2 x^{2} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 3.7.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

解题步骤 3.8

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

解题步骤 3.9

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{- 3}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 6

将极限移入指数中。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 8

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 9

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 9.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

合并。

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 10.2

化简分子。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 10.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 10.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 10.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

解题步骤 10.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3}{- 8}$

解题步骤 10.5

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{3}{8}$

微积分学 示例

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