微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.6.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 - \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.6.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

解题步骤 1.1.3.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

解题步骤 1.1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - \cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.6

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $1 - \cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.9.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.9.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.10

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.10.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.10.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.3.11

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 2.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

解题步骤 4.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 1}{\sin (0) - \cos (0)}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin (0) - \cos (0)}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{0 - \cos (0)}$

解题步骤 4.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{0 - 1}$

解题步骤 4.2.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.3

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

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