微积分学示例

$y = \log (1 - 4 \tan (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = 1 - 4 \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 4 \tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 - 4 \tan (x)]$

解题步骤 1.2

$\log (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - 4 \tan (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $1 - 4 \tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - 4 \tan (x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - 4 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 \tan (x)]$ 。

$\frac{1}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 \tan (x)])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 \tan (x)])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 4 \tan (x)]$ 相加。

$\frac{1}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} \frac{d}{d x} [- 4 \tan (x)]$

解题步骤 2.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{1}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} (- 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 2.5

合并分数。

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解题步骤 2.5.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)}$ 。

$\frac{- 4}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$- \frac{4}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)} \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\sec^{2} (x)$ 和 $\frac{4}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)}$ 。

$- \frac{\sec^{2} (x) \cdot 4}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)}$

解题步骤 4.2

将 $4$ 移到 $\sec^{2} (x)$ 的左侧。

$- \frac{4 \cdot \sec^{2} (x)}{(1 - 4 \tan (x)) \ln (10)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- \frac{4 \sec^{2} (x)}{1 \ln (10) - 4 \tan (x) \ln (10)}$

解题步骤 5.2

将 $\ln (10)$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4 \sec^{2} (x)}{\ln (10) - 4 \tan (x) \ln (10)}$

微积分学 示例

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