微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{x - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{1} + \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{1} + \sqrt{1} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{1} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6

化简。

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解题步骤 1.3.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6.3

合并项。

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解题步骤 1.3.6.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6.3.3

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

解题步骤 1.5

合并项。

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解题步骤 1.5.1

要将 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

解题步骤 1.5.2

要将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6 \sqrt{x} x^{\frac{2}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} (2 \sqrt{x})} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{2}{3}} \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3}})} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.5

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.6

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.5.3.7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.7.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.7.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3 + 2 \cdot 2}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.5.3.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{3 + 4}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.9.2

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.10

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}}{1}$

解题步骤 1.5.3.11

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 \sqrt{x} x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.12

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2}})}}{1}$

解题步骤 1.5.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.14

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.15

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.16

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.5.3.16.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.16.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.16.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.16.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.17

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{6}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.18

化简分子。

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解题步骤 1.5.3.18.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{4 + 3}{6}}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.18.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{6 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}}{1}$

解题步骤 1.5.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}}{1}$

解题步骤 1.6

用 $\frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.5

将极限移入根号内。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.7

使用极限幂法则把 $x^{\frac{2}{3}}$ 的指数 $\frac{2}{3}$ 移到极限外。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.8

使用极限幂法则把 $x^{\frac{7}{6}}$ 的指数 $\frac{7}{6}$ 移到极限外。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{1} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{1^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 4.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1}{1^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 4.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 + 3}{1^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 4.1.5

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{1^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{1}$

解题步骤 4.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 5$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{6}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{6}$

小数形式：

$0.8\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例