微积分学示例

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

解题步骤 3

使 $u = - 2 x - 4$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = - 2 x - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 2 x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $- 2 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = - 2 x - 4$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$u_{lower} = - 4 - 4$

解题步骤 3.3.2

从 $- 4$ 中减去 $4$ 。

$u_{lower} = - 8$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = - 2 x - 4$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 2 t - 4$

解题步骤 3.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

解题步骤 3.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 4.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

解题步骤 8.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

解题步骤 8.2.2.3

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

解题步骤 8.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

解题步骤 10

计算 $e^{u}$ 在 $- 2 t - 4$ 处和在 $- 8$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

解题步骤 11

计算极限值。

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解题步骤 11.1

计算极限值。

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解题步骤 11.1.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

解题步骤 11.1.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

解题步骤 11.2

因为指数 $- 2 t - 4$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- 2 t - 4}$ 趋于 $0$ 。

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

解题步骤 11.3

计算极限值。

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解题步骤 11.3.1

计算 $e^{- 8}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- (0 - e^{- 8})$

解题步骤 11.3.2

化简答案。

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解题步骤 11.3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

解题步骤 11.3.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{e^{8}}$ 。

$- - \frac{1}{e^{8}}$

解题步骤 11.3.2.3

乘以 $- - \frac{1}{e^{8}}$ 。

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解题步骤 11.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{e^{8}}$

解题步骤 11.3.2.3.2

将 $\frac{1}{e^{8}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{8}}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{e^{8}}$

小数形式：

$0.00033546 \dots$

微积分学 示例

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