微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 16 x + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $4 x^{3} - 16 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 16 x$ 。

$4 x^{3} - 16 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 16 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 16 x = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $4 x^{3} - 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 2$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$16 - 32 + 2$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$- 16 + 2$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $- 16$ 和 $2$ 相加。

$- 14$

解题步骤 1.4.3

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

解题步骤 1.4.3.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$16 - 32 + 2$

解题步骤 1.4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$- 16 + 2$

解题步骤 1.4.3.2.2.2

将 $- 16$ 和 $2$ 相加。

$- 14$

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(0, 2), (- 2, - 14)$

解题步骤 3

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 3.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 3.2

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} - 16 x$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 64$ 。

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = - 256 + 64$

解题步骤 3.2.2.2

将 $- 256$ 和 $64$ 相加。

$f' (- 4) = - 192$

解题步骤 3.2.2.3

最终答案为 $- 192$ 。

$- 192$

解题步骤 3.3

将区间 $(- 2, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 1$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} - 16 x$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 4 + 16$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 4$ 和 $16$ 相加。

$f' (- 1) = 12$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $12$ 。

$12$

解题步骤 3.4

将区间 $(0, 2)$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} - 16 x$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 4 - 16$

解题步骤 3.4.2.2

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$f' (1) = - 12$

解题步骤 3.4.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 3.5

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} - 16 x$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

通过指数相加将 $4$ 乘以 ${(4)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

将 $4$ 乘以 ${(4)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

解题步骤 3.5.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

解题步骤 3.5.2.1.2

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

解题步骤 3.5.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 256 - 64$

解题步骤 3.5.2.2

从 $256$ 中减去 $64$ 。

$f' (4) = 192$

解题步骤 3.5.2.3

最终答案为 $192$ 。

$192$

解题步骤 3.6

由于一阶导数在 $x = - 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 2$ 是极小值。

$x = - 2$ 是一个极小值

解题步骤 3.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 3.8

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 2$ 是极小值。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 3.9

这些是 $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ 的局部极值。

$x = - 2$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

$x = - 2$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(0, 2)$

最小绝对值： $(- 2, - 14)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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