微积分学示例

$\sqrt{e^{4 x - 2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{e^{4 x - 2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{e^{4 x - 2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{e^{4 x - 2}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $e^{4 x - 2}$ 重写为 ${(e^{2 x - 1})}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{(e^{2 x - 1})}^{2}} d x$

解题步骤 4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int e^{2 x - 1} d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \sqrt{e^{4 x - 2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$

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