微积分学示例

$x^{\frac{2}{3}} - 3$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{\frac{2}{3}} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 0$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

解题步骤 1.4.2.2

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.10

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ 。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.11

乘。

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解题步骤 2.11.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

解题步骤 2.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

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