微积分学示例

$\frac{x^{2}}{1 + x}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2}}{1 + x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 4

将 $1$ 和 $x$ 重新排序。

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

解题步骤 5

用 $x^{2}$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

解题步骤 5.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 9

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 9.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

解题步骤 12

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

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