微积分学示例

$\frac{2 x + 3}{2 - x}$

解题步骤 1

将 $\frac{2 x + 3}{2 - x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{2 - x} d x$

解题步骤 4

将 $2$ 和 $- x$ 重新排序。

$\int \frac{2 x + 3}{- x + 2} d x$

解题步骤 5

用 $2 x + 3$ 除以 $- x + 2$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

-

$x$

+

$2$

$2 x$

+

$3$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				+	$2 x$	-	$4$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 4$ 中的所有符号

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$
						+	$7$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int - 2 + \frac{7}{- x + 2} d x$

$\int - 2 + \frac{7}{- x + 2} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 2 d x + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$- 2 x + C + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

解题步骤 8

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$- 2 x + C + 7 \int \frac{1}{- x + 2} d x$

解题步骤 9

使 $u = - x + 2$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = - x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 9.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

$- 1$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 2 x + C + 7 \int \frac{- 1}{u} d u$

$- 2 x + C + 7 \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$- 2 x + C + 7 \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 2 x + C + 7 (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 12

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 2 x + C - 7 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- 2 x + C - 7 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 14

化简。

$- 2 x - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 15

使用 $- x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$