微积分学示例

$x^{2} e^{2 x}$

解题步骤 1

将 $x^{2} e^{2 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

解题步骤 5.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 7.3

将 $\int e^{2 x} (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 9.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

解题步骤 11

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 12

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 15

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

将 $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2

化简。

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解题步骤 16.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.4

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

解题步骤 16.2.6

要将 $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 16.2.7

组合 $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 16.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 16.2.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

解题步骤 17

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 18.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 18.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 18.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 18.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.1

将 $- \frac{e^{2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

解题步骤 18.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

解题步骤 18.3.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 18.3.4

约去公因数。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 18.3.5

重写表达式。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.4

化简每一项。

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解题步骤 18.4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.4.2

乘以 $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 18.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.4.2.2

将 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.5

要将 $- x e^{2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.6

组合 $- x e^{2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.8

化简分子。

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解题步骤 18.8.1

从 $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 18.8.1.1

从 $- x e^{2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.8.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.8.1.3

从 $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.9

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.10

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.11

从 $- (2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.12

将 $- (2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x - 1)$ 。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 19

重新排序项。

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

解题步骤 20

答案是函数 $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

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