微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \sqrt{h + 4} + 18}{h}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} - 9 \sqrt{h + 4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{h \to 0} 9 \sqrt{h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为项 $9$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 9 lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $4$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + 4} + lim_{h \to 0} 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.6

计算 $18$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 9 \sqrt{lim_{h \to 0} h + 4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{- 9 \sqrt{0 + 4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 9 \sqrt{4} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 9 \sqrt{2^{2}} + 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 9 \cdot 2 + 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 18 + 18}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $- 18$ 和 $18$ 相加。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \sqrt{h + 4} + 18}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4} + 18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4} + 18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $- 9 \sqrt{h + 4} + 18$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4}] + \frac{d}{d h} [18]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4}] + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [- 9 \sqrt{h + 4}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{h + 4}$ 重写成 ${(h + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 9 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.2

因为 $- 9$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 9 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $h$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d h} [{(h + 4)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \frac{d}{d h} [{(h + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (h) = h + 4$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $h + 4$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [h + 4]) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h + 4]) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.3.3

使用 $h + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h + 4]) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.4

根据加法法则， $h + 4$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4])) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d h} [4])) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.6

因为 $4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $4$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{1}{2} {(h + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 (\frac{{(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.14

将 $\frac{{(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \frac{{(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(h + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{h \to 0} \frac{- 9 \frac{1}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.16

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.17

将负号移到分数的前面。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [18]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $18$ 对于 $h$ 是常数，所以 $18$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5

将 $- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} - \frac{9}{2 {(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 ${(h + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{h + 4}$ 。

$lim_{h \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{h + 4}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{h + 4}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 1$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{h \to 0} \frac{9}{2 \sqrt{h + 4}}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{9}{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{9}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{h + 4}}$

解题步骤 2.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4}}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4}}$

解题步骤 2.5

将极限移入根号内。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + 4}}$

解题步骤 2.6

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4}}$

解题步骤 2.7

计算 $4$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + 4}}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

乘以 $- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{9}{2}$ 。

$- \frac{9}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{9}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{9}{4}$

小数形式：

$- 2.25$

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