微积分学示例

$x e^{x} d x$

解题步骤 1

将 $x e^{x} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = x e^{x} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x e^{x} d x d x$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x e^{x} d d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{1} e^{x} d d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + 1} e^{x} d d x$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{2} e^{x} d d x$

解题步骤 5

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int x^{2} e^{x} d x$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{x}$ 。

$d (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$d (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$d (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

解题步骤 9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

解题步骤 10

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

解题步骤 11

将 $d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ 重写为 $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 。

$d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = x e^{x} d x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

微积分学 示例

微积分学示例