微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 2.2

将 ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ 。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (θ)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (θ)$ 的形式。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 4

使 $u = \tan (θ)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \tan (θ)$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\tan (θ)$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

解题步骤 4.1.2

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$\sec^{2} (θ)$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = \tan (θ)$ 中的 $θ$ 。

$u_{lower} = \tan (0)$

解题步骤 4.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = \tan (θ)$ 中的 $θ$ 。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.5

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

解题步骤 5

乘以 $(1 + u^{2}) u^{4}$ 。

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $u^{4}$ 乘以 $1$ 。

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ 。

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $u^{7}$ 。

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.2

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.3

要将 $\frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.4

要将 $\frac{1}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $35$ 的形式。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.5.2

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.5.3

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.5.4

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.6

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.7

将 $7$ 和 $5$ 相加。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.9

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.9.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.9.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.9.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

解题步骤 12.2.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

解题步骤 12.2.11

约去 $0$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $7$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

解题步骤 12.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.11.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

解题步骤 12.2.11.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

解题步骤 12.2.11.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

解题步骤 12.2.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

解题步骤 12.2.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

解题步骤 12.2.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

解题步骤 12.2.14

将 $\frac{12}{35}$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{12}{35})$

解题步骤 12.2.15

组合 $4$ 和 $\frac{12}{35}$ 。

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

解题步骤 12.2.16

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$\frac{48}{35}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{48}{35}$

小数形式：

$1.37142857 \dots$

带分数形式：

$1 \frac{13}{35}$

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