微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

把

$4$ 重写为

$2$ 加

$2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 1.2

将

${\sec (θ)}^{2 + 2}$ 重写为

$\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 2

使用勾股定理，将

$\sec^{2} (θ)$ 重写成

$1 + \tan^{2} (θ)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

解题步骤 3

使

$u = \tan (θ)$ 。然后使

$d u = \sec^{2} (θ) d θ$ ，以便

$\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设

$u = \tan (θ)$ 。求

$\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对

$\tan (θ)$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (θ)$ 对

$θ$ 的导数为

$\sec^{2} (θ)$ 。

$\sec^{2} (θ)$

解题步骤 3.2

将下限代入替换

$u = \tan (θ)$ 中的

$θ$ 。

$u_{lower} = \tan (0)$

解题步骤 3.3

$\tan (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换

$u = \tan (θ)$ 中的

$θ$ 。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.5

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为

$1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 3.6

求得的

$u_{lower}$ 和

$u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 3.7

使用

$u$ 、

$d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

解题步骤 4

乘以

$(1 + u^{2}) u^{4}$ 。

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将

$u^{4}$ 乘以

$1$ 。

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

解题步骤 5.2

通过指数相加将

$u^{2}$ 乘以

$u^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

解题步骤 5.2.2

将

$2$ 和

$4$ 相加。

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

解题步骤 7

根据幂法则，

$u^{4}$ 对

$u$ 的积分是

$\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

解题步骤 8

根据幂法则，

$u^{6}$ 对

$u$ 的积分是

$\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

解题步骤 9

组合

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ 和

$\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ 在

$1$ 处和在

$0$ 处的值。

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.2

将

$\frac{1}{5}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.4

将

$\frac{1}{7}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.5

要将

$\frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.6

要将

$\frac{1}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.7

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$35$ 的形式。

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解题步骤 10.2.7.1

将

$\frac{1}{5}$ 乘以

$\frac{7}{7}$ 。

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.7.2

将

$5$ 乘以

$7$ 。

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.7.3

将

$\frac{1}{7}$ 乘以

$\frac{5}{5}$ 。

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.7.4

将

$7$ 乘以

$5$ 。

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.9

将

$7$ 和

$5$ 相加。

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.10

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.11

将

$\frac{1}{5}$ 乘以

$0$ 。

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 10.2.12

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

解题步骤 10.2.13

将

$\frac{1}{7}$ 乘以

$0$ 。

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

解题步骤 10.2.14

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$\frac{12}{35} - 0$

解题步骤 10.2.15

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$\frac{12}{35} + 0$

解题步骤 10.2.16

将

$\frac{12}{35}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{12}{35}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{12}{35}$

小数形式：

$0.3\overline{428571}$

微积分学 示例

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