微积分学示例

$f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ 。

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $0.5$ 。

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2.5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $1.5 x^{2} - 2$ 和 $0$ 相加。

$1.5 x^{2} - 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1.5 x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $1.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1.5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 1.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 1.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1.5$ 。

$f'' (x) = 3 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 3 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 3 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ 。

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $0.5$ 。

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $2.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2.5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $1.5 x^{2} - 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 1.5 x^{2} - 2$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1.5 x^{2} - 2$ 。

$1.5 x^{2} - 2$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1.5 x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$1.5 x^{2} = 2$

解题步骤 5.3

将 $1.5 x^{2} = 2$ 中的每一项除以 $1.5$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $1.5 x^{2} = 2$ 中的每一项都除以 $1.5$ 。

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $1.5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{2}{1.5}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $2$ 除以 $1.5$ 。

$x^{2} = 1.\overline{3}$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1.\overline{3}}$

解题步骤 5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$

解题步骤 5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$

解题步骤 5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

解题步骤 8

计算在 $x = \sqrt{1.\overline{3}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 (\sqrt{1.\overline{3}})$

解题步骤 9

将 $3$ 乘以 $\sqrt{1.\overline{3}}$ 。

$3.46410161$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \sqrt{1.\overline{3}}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \sqrt{1.\overline{3}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\sqrt{1.\overline{3}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(\sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 ${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ 。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

解题步骤 11.2.1.2

对 $1.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

解题步骤 11.2.1.3

将 $0.5$ 乘以 $\sqrt{2.\overline{370}}$ 。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.76980035 - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

解题步骤 11.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $0.76980035$ 中减去 $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ 。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = - 1.53960071 + 2.5$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 1.53960071$ 和 $2.5$ 相加。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.96039928$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0.96039928$ 。

$y = 0.96039928$

解题步骤 12

计算在 $x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$

解题步骤 13

乘以 $3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$ 。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \sqrt{1.\overline{3}}$

解题步骤 13.2

将 $- 3$ 乘以 $\sqrt{1.\overline{3}}$ 。

$- 3.46410161$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \sqrt{1.\overline{3}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(- \sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- \sqrt{1.\overline{3}}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

解题步骤 15.2.1.3

将 ${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

解题步骤 15.2.1.4

对 $1.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

解题步骤 15.2.1.5

乘以 $0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}})$ 。

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解题步骤 15.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $0.5$ 。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

解题步骤 15.2.1.5.2

将 $- 0.5$ 乘以 $\sqrt{2.\overline{370}}$ 。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

解题步骤 15.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 + 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

解题步骤 15.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $- 0.76980035$ 和 $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ 相加。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 1.53960071 + 2.5$

解题步骤 15.2.2.2

将 $1.53960071$ 和 $2.5$ 相加。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 4.03960071$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $4.03960071$ 。

$y = 4.03960071$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ 的局部极值。

$(\sqrt{1.\overline{3}}, 0.96039928)$ 是一个局部最小值

$(- \sqrt{1.\overline{3}}, 4.03960071)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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