微积分学示例

$2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$

解题步骤 1

将 $2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{3} d x + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{3} d x + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

解题步骤 7

由于 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{2}{3}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} \int x^{2} d x + \int 5 x d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 x d x$

解题步骤 9

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int x d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + 5 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + 5 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + \frac{5 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

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