微积分学示例

$\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt{x} d x + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \sqrt[4]{x} d x$

解题步骤 9

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{1}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

解题步骤 11

化简。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

微积分学 示例