微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

将 $5 x^{3}$ 和 $8 x^{3}$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{13 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 1.2

因为项 $13$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$13 \frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$13 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

因为项 $16$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.7.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$13 \frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.7.1.4

将 $- 16$ 乘以 $0$ 。

$13 \frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$13 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$13 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$13 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$13 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$13 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $3 x^{4} - 16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \cdot 2 x}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

解题步骤 3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$13 \cdot 3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

解题步骤 4.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

解题步骤 4.1.3.2

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

解题步骤 4.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

解题步骤 4.1.3.4

因为项 $32$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

解题步骤 4.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 4.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

解题步骤 4.1.3.6.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

解题步骤 4.1.3.6.1.3

将 $- 32$ 乘以 $0$ 。

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 4.1.3.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.3.6.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

解题步骤 4.3.3

根据加法法则， $12 x^{3} - 32 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

解题步骤 4.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

解题步骤 4.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

解题步骤 4.3.4.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

解题步骤 4.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.5.3

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 和 $36 x^{2} - 32$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{36 x^{2} - 32}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 18 x^{2} - 32}$

解题步骤 4.4.2.2

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

解题步骤 4.4.2.3

从 $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ 中分解出因数 $2$ 。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

解题步骤 4.4.2.4

约去公因数。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (18 x^{2} - 16)}$

解题步骤 4.4.2.5

重写表达式。

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{18 x^{2} - 16}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

解题步骤 5.3

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

解题步骤 5.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

解题步骤 5.5

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $13$ 乘以 $3$ 。

$39 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

解题步骤 7.2

约去 $0$ 和 $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $18 \cdot 0^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

解题步骤 7.2.2

从 $- 1 \cdot 16$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

解题步骤 7.2.3

从 $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

解题步骤 7.2.4

将 $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ 重写为 $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ 。

$39 \frac{0}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

解题步骤 7.2.5

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$39 \frac{2 (0)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

解题步骤 7.2.6

约去公因数。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ 中分解出因数 $2$ 。

$39 \frac{2 (0)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

解题步骤 7.2.6.2

约去公因数。

$39 \frac{2 \cdot 0}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

解题步骤 7.2.6.3

重写表达式。

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

解题步骤 7.3

化简分母。

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解题步骤 7.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

解题步骤 7.3.2

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$39 \frac{0}{- 1 (0 + 8)}$

解题步骤 7.3.3

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$39 \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$39 (\frac{0}{- 8})$

解题步骤 7.5

用 $0$ 除以 $- 8$ 。

$39 \cdot 0$

解题步骤 7.6

将 $39$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

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