微积分学示例

$f (x) = 4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 45 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 45$ 乘以 $1$ 。

$0 - 45 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - 45 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 45 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$0 - 45 + 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 45 + 6 x + 3 x^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

从 $0$ 中减去 $45$ 。

$- 45 + 6 x + 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$3 x^{2} + 6 x - 45$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 6 x - 45$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 45]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 45)$

解题步骤 2.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 45)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 45$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $6 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x + 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 45 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 45$ 乘以 $1$ 。

$0 - 45 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - 45 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 45 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$0 - 45 + 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 45 + 6 x + 3 x^{2}$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $0$ 中减去 $45$ 。

$- 45 + 6 x + 3 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.2

重新排序项。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 45$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 6 x - 45$ 。

$3 x^{2} + 6 x - 45$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{2} + 6 x - 45$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 6 x - 45 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 45 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $- 45$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $2$ 。

$- 3, 5$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 3) (x + 5)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 3) (x + 5) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.5

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 5.6

最终解为使 $3 (x - 3) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 5$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 3, - 5$

解题步骤 8

计算在 $x = 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (3) + 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 + 6$

解题步骤 9.2

将 $18$ 和 $6$ 相加。

$24$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 3$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 3$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = 4 - 45 \cdot 3 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $- 45$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 4 - 135 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

解题步骤 11.2.1.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.1

将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (3) = 4 - 135 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

解题步骤 11.2.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (3) = 4 - 135 + 3^{1 + 2} + {(3)}^{3}$

解题步骤 11.2.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (3) = 4 - 135 + 3^{3} + {(3)}^{3}$

解题步骤 11.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = 4 - 135 + 27 + {(3)}^{3}$

解题步骤 11.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = 4 - 135 + 27 + 27$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $4$ 中减去 $135$ 。

$f (3) = - 131 + 27 + 27$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 131$ 和 $27$ 相加。

$f (3) = - 104 + 27$

解题步骤 11.2.2.3

将 $- 104$ 和 $27$ 相加。

$f (3) = - 77$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 77$ 。

$y = - 77$

解题步骤 12

计算在 $x = - 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- 5) + 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$- 30 + 6$

解题步骤 13.2

将 $- 30$ 和 $6$ 相加。

$- 24$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 5$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 5$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = 4 - 45 \cdot - 5 + 3 {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

将 $- 45$ 乘以 $- 5$ 。

$f (- 5) = 4 + 225 + 3 {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5) = 4 + 225 + 3 \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 15.2.1.3

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (- 5) = 4 + 225 + 75 + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 15.2.1.4

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 5) = 4 + 225 + 75 - 125$

解题步骤 15.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $4$ 和 $225$ 相加。

$f (- 5) = 229 + 75 - 125$

解题步骤 15.2.2.2

将 $229$ 和 $75$ 相加。

$f (- 5) = 304 - 125$

解题步骤 15.2.2.3

从 $304$ 中减去 $125$ 。

$f (- 5) = 179$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $179$ 。

$y = 179$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ 的局部极值。

$(3, - 77)$ 是一个局部最小值

$(- 5, 179)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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