微积分学示例

$x \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $x \sin^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \sin^{2} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin^{2} (x)$ 。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

解题步骤 8

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x)$

解题步骤 9

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 9.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 11.2

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 12

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 13.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 13.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 13.2

化简。

$\frac{x^{2}}{2} - x \frac{\sin (2 x)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 13.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.3.1

组合 $\frac{\sin (2 x)}{4}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 13.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 13.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

解题步骤 13.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

解题步骤 13.3.5

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

解题步骤 13.3.6

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\cos (u)$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

解题步骤 13.3.7

要将 $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

解题步骤 13.3.8

组合 $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.3.10

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

解题步骤 14

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

解题步骤 15

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

运用分配律。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 15.2

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 (- 1) \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 15.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 15.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 15.3

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 15.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

解题步骤 15.3.3

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

解题步骤 15.3.4

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

解题步骤 16

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

从 $- \sin (2 x) x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

解题步骤 16.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - (x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

解题步骤 16.3

从 $- (\sin (2 x) x) - (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

解题步骤 16.4

从 $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

解题步骤 16.5

从 $- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

解题步骤 16.6

将 $- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ 重写为 $- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

解题步骤 16.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

解题步骤 16.8

将 $- \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

解题步骤 16.9

重新排序项。

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$

解题步骤 17

答案是函数 $f (x) = x \sin^{2} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$

微积分学 示例

微积分学示例