微积分学示例

$y' = 2 x y$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

解题步骤 2

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

解题步骤 2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

解题步骤 2.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

解题步骤 2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

解题步骤 2.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

解题步骤 2.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 2.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

解题步骤 3

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

解题步骤 3.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

解题步骤 3.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 3.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

解题步骤 4.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = x^{2} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x^{2} + C} = | y |$

解题步骤 4.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{x^{2} + C}$ 。

$| y | = e^{x^{2} + C}$

解题步骤 4.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

解题步骤 5

将常数项组合在一起。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $e^{x^{2} + C}$ 重写为 $e^{x^{2}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

解题步骤 5.2

将 $e^{x^{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

解题步骤 5.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{x^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例