微积分学示例

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 1.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 1}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 1) (x + 3)$ 。

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.6

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $3 x + 5$ 除以 $1$ 。

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $(A) (x + 3)$ 除以 $1$ 。

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.7.4

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.4.1

约去公因数。

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.7.4.2

用 $(B) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

解题步骤 1.1.7.5

运用分配律。

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

解题步骤 1.1.7.6

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

解题步骤 1.1.7.7

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

解题步骤 1.1.8

移动 $3 A$ 。

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$3 = A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $3 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 3$ 。

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $3 - B$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $3 - B$ 替换 $5 = 3 A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $3 (3 - B) - 1 B$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.4

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

从 $- 3 B$ 中减去 $B$ 。

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.3

在 $5 = 9 - 4 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $9 - 4 B = 5$ 。

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.3.2.2

从 $5$ 中减去 $9$ 。

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 4 B = - 4$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $- 4 B = - 4$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 4$ 。

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $1$ 替换 $A = 3 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $3 - (1)$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A = 3 - 1$

$B = 1$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$A = 2, B = 1$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 1.5

去掉表达式中的零。

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{1} = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 - 1$

解题步骤 4.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{1} = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - 1$

解题步骤 4.5

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 4.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 6

使 $u_{2} = x + 3$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = x + 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 6.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u_{2} = x + 3$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 + 3$

解题步骤 6.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$u_{lower} = 6$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u_{2} = x + 3$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 + 3$

解题步骤 6.5

将 $5$ 和 $3$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 6.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\ln (| u_{1} |)$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

解题步骤 8.2

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $8$ 处和在 $6$ 处的值。

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

解题步骤 8.3

去掉多余的括号。

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

解题步骤 10.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

解题步骤 10.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

解题步骤 10.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $8$ 之间的距离为 $8$ 。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

解题步骤 10.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $6$ 之间的距离为 $6$ 。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

解题步骤 10.6

约去 $8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

解题步骤 10.6.2

约去公因数。

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解题步骤 10.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

解题步骤 10.6.2.2

约去公因数。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

解题步骤 10.6.2.3

重写表达式。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

小数形式：

$1.67397643 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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