微积分学示例

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

$- 1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 1.3

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = 1 - 3$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = - 2$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $- 2$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2.2

将负号移到分数的前面。

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2.5

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 6.2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 6.2.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{1 + 2}{2}$

解题步骤 6.2.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3}{2}$

小数形式：

$- 1.5$

带分数形式：

$- 1 \frac{1}{2}$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$