微积分学示例

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 5.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$\int \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 6

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (t)$ 的形式。

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 11

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 11.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 12

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 15

化简。

$\frac{1}{2} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 16.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 16.3

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

组合 $\sin (2 \arcsin (x))$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 17.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 17.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arcsin (x)$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 17.4

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ 。

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解题步骤 17.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 17.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

解题步骤 19

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

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