微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 9}{x + 3} & x \neq - 3 \\ - 6 & x = - 3 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，求 $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 的极限。

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解题步骤 1.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.2.1.3

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.2.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.2.3.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 1.1.1.3.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 + 3}$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 1.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 1.1.3.6

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 1.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 1.1.3.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{1 + 0}$

解题步骤 1.1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{1}$

解题步骤 1.1.4

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} 2 x$

解题步骤 1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to - 3} x$

解题步骤 1.3

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot - 3$

解题步骤 1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6$

解题步骤 2

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$- 6$

解题步骤 3

由于当 $x$ 趋于 $- 3$ 时， $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 的极限等于 $x = - 3$ 处的函数值，因此该函数在 $x = - 3$ 处连续。

连续

解题步骤 4

微积分学 示例

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