微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

解题步骤 2

使 $u = π x$ 。然后使 $d u = π d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = π x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $π x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = π x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = π \cdot 1$

解题步骤 2.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = π$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = π x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = π t$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{π}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 5.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

解题步骤 8

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $π t$ 处和在 $π$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算极限值。

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解题步骤 9.1.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

解题步骤 9.1.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

解题步骤 9.2

因为函数 ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $2$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 9.2.1

思考去掉常数倍数 $2$ 后的极限。

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

解题步骤 9.2.2

将 ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{π t}$ 。

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

解题步骤 9.2.3

对于根式，当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

解题步骤 9.3

计算极限值。

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解题步骤 9.3.1

计算 $2 π^{\frac{1}{2}}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

解题步骤 9.3.2

计算 $π$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

解题步骤 9.3.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.3.1

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{π}$

解题步骤 9.3.3.2

无穷大除以任何有穷数和非零数，其结果为无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

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