微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

重新整理项。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

解题步骤 1.2

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

解题步骤 1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

计算 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 3.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 3.2.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

解题步骤 3.2.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 3.2.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

解题步骤 3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ 约为 $3.7320508$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

解题步骤 3.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

解题步骤 3.3.3

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\ln (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2 + \sqrt{3})$

小数形式：

$1.31695789 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例