微积分学示例

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{9}$ 且 $g (x) = \sin^{5} (x^{3} + 7)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x^{3} + 7)$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (x^{3} + 7)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{3} + 7$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $x^{3} + 7$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

解题步骤 3.3

使用 $x^{3} + 7$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{3} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]))$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]))$

解题步骤 4.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0))$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2}))$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2})$

解题步骤 4.4.3

重新排序 $15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ 的因式。

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

解题步骤 5

合并项。

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解题步骤 5.1

将 ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 {\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

解题步骤 5.1.2

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$9 \sin^{40} (x^{3} + 7) (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

解题步骤 5.2

将 $15$ 乘以 $9$ 。

$135 \sin^{40} (x^{3} + 7) (x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$135 (x^{2} {\sin (x^{3} + 7)}^{40 + 4} \cos (x^{3} + 7))$

解题步骤 5.4

将 $40$ 和 $4$ 相加。

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$

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